Question

15．已知平面直角坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)M₁（26，1），M₂（2，1）的距離之比等于5．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；
（Ⅱ）記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C，過點(diǎn)P（-2，3）的直線l被C所截得的弦長(zhǎng)為8，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用距離的比，列出方程即可求點(diǎn)M的軌跡方程，然后說明軌跡是什么圖形；
（Ⅱ）設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離，半徑與半弦長(zhǎng)滿足的勾股定理，求出直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），由題意得：$\frac{\sqrt{（x-26）^{2}+（y-1）^{2}}}{\sqrt{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}}}$=5，
化簡(jiǎn)得：（x-1）²+（y-2）²=25…（5分）
所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是：（x-1）²+（y-2）²=25，
動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以（1，1）為圓心，5為半徑的圓…（6分）
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)A（-2，3）的直線l：x=-2，
此時(shí)過點(diǎn)A（-2，3）的直線l被圓所截得的線段的長(zhǎng)為：2$\sqrt{25-9}$=8，
∴l(xiāng)：x=-2符合題意．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)A（-2，3）的直線l的方程為y-3=k（x+2），即kx-y+2k+3=0，
圓心到l的距離d=$\frac{|3k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
由題意，得（$\frac{|3k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$）²+4²=5²，解得k=$\frac{5}{12}$．
∴直線l的方程為$\frac{5}{12}$x-y+$\frac{23}{6}$=0．即5x-12y+46=0．
綜上，直線l的方程為x=-2，或5x-12y+46=0．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線軌跡方程的求法，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．