(1)已知α,β都是銳角,且sinα=
5
5
,sinβ=
10
10
,求證:α+β=
π
4

(2)已知cos(α-β)=-
4
5
,cos(α+β)=
4
5
,且(α-β)∈(
π
2
,π)
(α+β)∈(
2
,2π)
,求cos2α,cos2β的值.
分析:(1)由α,β都是銳角,根據(jù)sinα與sinβ的值,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosα與cosβ的值,利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡cos(α+β),將各自的值代入求出cos(α+β)的值,根據(jù)α+β是第一象限角,利用特殊角的三角函數(shù)值求出α+β的度數(shù),得證;
(2)根據(jù)α+β與α-β的范圍,以及cos(α+β)與cos(α-β)的值,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sin(α+β)與sin(α-β)的值,所求式子變形后,利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡,將各自的值代入計(jì)算即可求出值.
解答:(1)證明:∵α,β都是銳角,
∴cosα=
1-sin2α
=
2
5
5
,cosβ=
1-sin2β
=
3
10
10
,
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=
2
2

∴α+β是第一、四象限角,
又∵0<α+β<π,
∴α+β=
π
4
;
(2)解:∵α+β∈(
2
,2π),cos(α+β)=
4
5
,
∴sin(α+β)=-
1-cos2(α+β)
=-
3
5
,
又∵α-β∈(
π
2
,π),cos(α-β)=-
4
5
,
∴sin(α+β)=
1-cos2(α-β)
=
3
5

∴cos2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=-
7
25
,
cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.
點(diǎn)評(píng):此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.
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證明:
(1)已知x,y都是正實(shí)數(shù),求證:x3+y3≥x2y+xy2
(2)已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求證:a2+b2+c2 ≥ 
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【選修4-5:不等式選講】
(1)已知x、y都是正實(shí)數(shù),求證:x3+y3≥x2y+xy2;
(2)設(shè)不等的兩個(gè)正數(shù)a、b滿足a3-b3=a2-b2,求a+b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知x、y都是正實(shí)數(shù),求證:x3+y3≥x2y+xy2;
(2)若不等式|a-1|≥
3x+1
+
3y+1
+
3z+1
對(duì)滿足x+y+z=1的一切正實(shí)數(shù)x,y,z恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年寧夏銀川一中高三第六次月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

證明:
(1)已知x,y都是正實(shí)數(shù),求證:x3+y3≥x2y+xy2,
(2)已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求證:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年海南省三亞一中、國興中學(xué)、海師附中、嘉積中學(xué)四校高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

證明:
(1)已知x,y都是正實(shí)數(shù),求證:x3+y3≥x2y+xy2,
(2)已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求證:

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