Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求證：
（1）直線PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵D、E為PC、AC的中點(diǎn)，∴DE∥PA，
又∵PA平面DEF，DE平面DEF，
∴PA∥平面DEF；
（2）∵D、E為PC、AC的中點(diǎn)，∴DE=PA=3；
又∵E、F為AC、AB的中點(diǎn)，∴EF=BC=4；
∴DE2+EF2=DF2 ，
∴∠DEF=90°，
∴DE⊥EF；
∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；
∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；
∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．
【解析】（1）由D、E為PC、AC的中點(diǎn)，得出DE∥PA，從而得出PA∥平面DEF；
（2）要證平面BDE⊥平面ABC，只需證DE⊥平面ABC，即證DE⊥EF，且DE⊥AC即可．