【題目】設函數,.
(1)若曲線在點處的切線與軸平行,求;
(2)當時,函數的圖象恒在軸上方,求的最大值.
【答案】(Ⅰ)a=e;(Ⅱ)a的最大值為2e;
【解析】
(Ⅰ)先求導數,再根據導數幾何意義得切線斜率,最后根據條件列方程解得a;(Ⅱ)先求導數,再根據導函數零點與1大小分類討論,根據函數單調性確定函數最小值,最后根據最小值大于零,解得a的取值范圍,即得最大值.
(Ⅰ)∵,∴f'(x)=exa,∴f'(1)=ea,
由題設知f'(1)=0,即ea=0,解得a=e.
經驗證a=e滿足題意.
(Ⅱ)令f'(x)=0,即ex=a,則x=lna,
(1)當lna<1時,即0<a<e
對于任意x∈(-∞,lna)有f'(x)<0,故f(x)在(-∞,lna)單調遞減;
對于任意x∈(lna,1)有f'(x)>0,故f(x)在(lna,1)單調遞增,
因此當x=lna時,f(x)有最小值為成立.所以0<a<e,
(2)當lna≥1時,即a≥e對于任意x∈(-∞,1)有f'(x)<0,
故f(x)在(-∞,1)單調遞減,所以f(x)>f(1).
因為f(x)的圖象恒在x軸上方,所以f(1)≥0,即a≤2e,
綜上,a的取值范圍為(0,2e],所以a的最大值為2e.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且.
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,求二面角A-PB-C的余弦值.
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【題目】已知兩點分別在軸和軸上運動,且,若動點滿足.
(1)求出動點P的軌跡對應曲線C的標準方程;
(2)一條縱截距為2的直線與曲線C交于P,Q兩點,若以PQ直徑的圓恰過原點,求出直線方程.
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【題目】在心理學研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用,現有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.
(I)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。
(II)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數,求X的分布列與數學期望EX.
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【題目】在直角坐標系xOy中,點A(x1,y1)和點B(x2,y2)是單位圓x2+y2=1上兩點,|AB|=1,則∠AOB=______;|y1+2|+|y2+2|的最大值為______.
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【題目】設有下列四個命題:
:若,則;
:若,則;
:“”是“為奇函數”的充要條件;
:“等比數列中,”是“等比數列是遞減數列”的充要條件.
其中,真命題的是
A. ,B. ,C. ,D. ,
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【題目】在平行四邊形中,,,過點作的垂線,交的延長線于點,.連結,交于點,如圖1,將沿折起,使得點到達點的位置,如圖2.
(1)證明:平面平面;
(2)若為的中點,為的中點,且平面平面,求三棱錐的體積.
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【題目】現有一長為100碼,寬為80碼,球門寬為8碼的矩形足球運動場地,如圖所示,其中是足球場地邊線所在的直線,球門處于所在直線的正中間位置,足球運動員(將其看做點)在運動場上觀察球門的角稱為視角.
(1)當運動員帶球沿著邊線奔跑時,設到底線的距離為碼,試求當為何值時最大;
(2)理論研究和實踐經驗表明:張角越大,射門命中率就越大.現假定運動員在球場都是沿著垂直于底線的方向向底線運球,運動到視角最大的位置即為最佳射門點,以的中點為原點建立如圖所示的直角坐標系,求在球場區(qū)域內射門到球門的最佳射門點的軌跡.
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