【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°,CC1⊥底面ABC,AC=BC=CC1=2,D,E,F(xiàn)分別是棱AB,BC,B1C1的中點,G是棱BB1上的動點.
(1)當(dāng) 為何值時,平面CDG⊥平面A1DE?
(2)求平面AB1F與平面AD1E所成的銳二面角的余弦值.
【答案】
(1)解:當(dāng)G為BB1中點(即 )時,平面CDG⊥平面A1DE.
證明如下:由于DE∥AC且 ,∴ ,故D,E,C1,A1四點共面.
連接C1E交GC于H.在正方形CBB1C1中, ,故∠CHE=90°,即CG⊥C1E.又A1C1⊥平面CBB1C1,CG平面CBB1C1,所以DE⊥CG,又因為C1E∩DE=E,故CG⊥平面A1DE,從而平面CDG⊥平面A1DE
(2)解:三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°,CC1⊥底面ABC,
于是可以以C為原點,CA,CB,CC1所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
如圖所示.
因為AC=BC=CC1=2,D,E,F(xiàn)分別是棱AB,BC,B1C1的中點,
所以A1(2,0,2),D(1,1,0),E(0,1,0),B(0,2,0),F(xiàn)(0,1,2),
G(0,2.1), =(﹣2,2,﹣2), =(﹣2,1,0).
由(1)知平面A1DE的法向量為 =(0,2,1),
設(shè)平面A1BF的法向量為 =(x,y,z),則 ,即: ,
令x=1得 ,
設(shè)平面A1BF與平面A1DE所成的銳二面角為θ,
則cosθ= = = .
【解析】(1)當(dāng)G為BB1中點(即 )時,平面CDG⊥平面A1DE.證明D,E,C1 , A1四點共面.連接C1E交GC于H.證明CG⊥C1E.DE⊥CG,推出CG⊥平面A1DE,即可證明平面CDG⊥平面A1DE.(2)以C為原點,CA,CB,CC1所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面A1DE的法向量,平面A1BF的法向量,設(shè)平面A1BF與平面A1DE所成的銳二面角為θ,利用數(shù)量積求解即可.
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識點,需要掌握一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓的半徑為2,圓心在軸的正半軸上,且與直線相切.
(1)求圓的方程。
(2)在圓上,是否存在點,使得直線與圓相交于不同的兩點,且△的面積最大?若存在,求出點的坐標(biāo)及對應(yīng)的△的面積;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)在處的切線方程;
(2)若函數(shù)在上為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點為直線上一點,過點作的垂線與以為直徑的圓相交于,兩點.
(1)若,求圓的方程;
(2)求證:點始終在某定圓上.
(3)是否存在一定點(異于點),使得為常數(shù)?若存在,求出定點的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù) ,則關(guān)于函數(shù)f(x)有以下四個命題( )
①x∈R,f(f(x))=1;
②x0 , y0∈R,f(x0+y0)=f(x0)+f(y0);
③函數(shù)f(x)是偶函數(shù);
④函數(shù)f(x)是周期函數(shù).
其中真命題的個數(shù)是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=2x﹣a,g(x)=x+2.
(1)當(dāng)a=1時,求不等式f(x)+f(﹣x)≤g(x)的解集;
(2)求證: 中至少有一個不小于 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知x1 , x2是函數(shù)f(x)=2sin2x+cos2x﹣m在[0, ]內(nèi)的兩個零點,則sin(x1+x2)= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0),f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),若f(α)=0,f'(α)>0,且f(x)在區(qū)間[α, +α)上沒有最小值,則ω取值范圍是( )
A.(0,2)
B.(0,3]
C.(2,3]
D.(2,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)統(tǒng)計,某地區(qū)植被覆蓋面積公頃與當(dāng)?shù)貧鉁叵陆档亩葦?shù)之間呈線性相關(guān)關(guān)系,對應(yīng)數(shù)據(jù)如下:
公頃 | 20 | 40 | 60 | 80 |
3 | 4 | 4 | 5 |
請用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
根據(jù)中所求線性回歸方程,如果植被覆蓋面積為300公頃,那么下降的氣溫大約是多少?
參考公式:線性回歸方程;其中,.
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