Question

4．如圖，在四棱錐中P-ABCD，底面ABCD為邊長為$\sqrt{2}$的正方形，PA⊥BD．
（Ⅰ）求證：PB=PD；
（Ⅱ）若E，F分別為PC，AB的中點，EF⊥平面PCD，求三棱錐的D-ACE體積．

Answer 1

分析 （I）由正方形的性質得AC⊥BD，又BD⊥PA，故BD⊥平面PAC，于是BD⊥PO，由Rt△PBO∽Rt△PDO得出PB=PD；
（II）取PD的中點Q，連接AQ，EQ，則可證四邊形AFEQ是平行四邊形，故EF∥AQ，于是AQ⊥平面PCD，得出AQ⊥PD，于是PA=AD=$\sqrt{2}$，由CD⊥AD，CD⊥AQ得CD⊥平面PAD，故CD⊥PA，于是PA⊥平面ABCD，則E到底面的距離等于$\frac{1}{2}PA$，代入棱錐的體積公式計算．

解答 解：（Ⅰ）連接AC交BD于點O，
∵底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD且O為BD的中點．
又PA⊥BD，PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，又PO?平面PAC，
∴BD⊥PO．又BO=DO，
∴Rt△PBO∽Rt△PDO，
∴PB=PD．
（Ⅱ）取PD的中點Q，連接AQ，EQ，則EQ$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，
又AF$\stackrel{∥}{=}\frac{1}{2}CD$，
∴AFEQ為平行四邊形，EF∥AQ，
∵EF⊥平面PCD，
∴AQ⊥平面PCD，∵PD?平面PCD，
∴AQ⊥PD，∵Q是PD的中點，
∴AP=AD=$\sqrt{2}$．
∵AQ⊥平面PCD，CD?平面PCD，
∴AQ⊥CD，又AD⊥CD，又AQ∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PA，又BD⊥PA，CD∩BD=D，
∴PA⊥平面ABCD．
$\begin{array}{l}{V_{D-ACE}}={V_{E-ACD}}\\=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}PA×{S_{△ACD}}\end{array}$
$\begin{array}{l}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}\\=\frac{{\sqrt{2}}}{6}\end{array}$
故三棱錐D-ACE的體積為$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質，棱錐的體積計算，屬于中檔題．