Question

12．已知有1張假紙幣和4張不同面值的真紙幣，現需要通過權威檢測工具找出假紙幣，將假紙幣上交銀行，每次隨機檢測一張紙幣，檢測后不放回，直到檢測出假紙幣或者檢測出4張真紙幣時，檢測結束．
（Ⅰ）求第1次檢測的紙幣是假紙幣的概率；
（Ⅱ）求第3次檢測的紙幣是假紙幣的概率；
（Ⅲ）若每檢測一張紙幣需要2分鐘，設X表示檢測結束所需要的時間，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等可能事件概率計算公式能求出第1次檢測的紙幣是假紙幣的概率．
（Ⅱ）由相互獨立事件概率乘法公式能求出第3次檢測的紙幣是假紙幣的概率．
（Ⅲ）由題意X的可能取值為2，4，6，8，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數學期望．

解答 解：（Ⅰ）由題意第1次檢測的紙幣是假紙幣的概率：p₁=$\frac{1}{5}$．
（Ⅱ）第3次檢測的紙幣是假紙幣的概率：p₂=$\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{5}$．
（Ⅲ）由題意X的可能取值為2，4，6，8，
P（X=2）=$\frac{1}{5}$，
P（X=4）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=6）=$\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=8）=$\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$+$\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{2}{5}$，
∴X的分布列為：

X	2	4	6	8
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{5}$

EX=$2×\frac{1}{5}+4×\frac{1}{5}+6×\frac{1}{5}+8×\frac{2}{5}$=$\frac{28}{5}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率計算公式的合理運用．