Question

18．在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)P是正方體棱上的一點(diǎn)（不包括棱的端點(diǎn)），對確定的常數(shù)m，若滿足|PB|+|PD₁|=m的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為n，則n的最大值是12．

Answer 1

分析 P應(yīng)是橢圓與正方體與棱的交點(diǎn)，滿足條件的點(diǎn)應(yīng)該在棱B₁C₁，C₁D₁，CC₁，AA₁，AB，AD上各有一點(diǎn)滿足條件，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵正方體的棱長為1，
∴BD₁=$\sqrt{3}$，
∵點(diǎn)P是正方體棱上的一點(diǎn)（不包括棱的端點(diǎn)），
滿足|PB|+|PD₁|=m，
∴點(diǎn)P是以2c=$\sqrt{3}$為焦距，以2a=m為長半軸的橢圓，
∵P在正方體的棱上，
∴P應(yīng)是橢圓與正方體與棱的交點(diǎn)，
結(jié)合正方體的性質(zhì)可知，
滿足條件的點(diǎn)應(yīng)該在正方體的12條棱上各有一點(diǎn)
滿足條件．
∴滿足|PB|+|PD₁|=m的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)n的最大值是12，
故答案為12．

點(diǎn)評 本題以正方體為載體，主要考查了橢圓定義的靈活應(yīng)用，屬于綜合性試題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．