Question

6．若關于x的不等式（m-1）x²-mx+m-1＞0的解集為空集，則實數m的取值為m≤$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 關于x的不等式（m-1）x²-mx+m-1＞0的解集為∅，可轉化成不等式（m-1）x²-mx+m-1≤0恒成立，然后討論二次項系數和判別式可得結論．

解答 解：∵關于x的不等式（m-1）x²-mx+m-1＞0的解集為∅，
∴不等式（m-1）x²-mx+m-1≤0恒成立
①當m-1=0時，（m-1）x²-mx+m-1≤0，即x≥0，不是對任意x∈R恒成立；
②當m-1≠0時，?x∈R，使（m-1）x²-mx+m-1≤0，
即m-1＜0且△=（-m）²-4（m-1）（m-1）≤0，
解得m≤$\frac{2}{3}$
綜上，實數m的取值范圍是m≤$\frac{2}{3}$．
故答案為m≤$\frac{2}{3}$．

點評 本題主要考查了二次函數恒成立問題，即根據二次函數圖象開口方向和判別式的符號，列出等價條件求出對應的參數的范圍，屬于基礎題．