已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜
π
2

（I）若cos
π
4
cosφ-sin
3π
4
sinφ=0，求φ的值；
（Ⅱ）在（I）的條件下，若函數(shù)f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于
π
3
，求函數(shù)f（x）的解析式；并求最小正實數(shù)m，使得函數(shù)f（x）的圖象向左平移m個單位所對應的函數(shù)是偶函數(shù)．
（I）由cos
π
4
cosφ-sin
3π
4
sinφ=0得cos
π
4
cosφ-sin
π
4
sinφ=0
即cos(
π
4
+φ)=0又|φ|＜
π
2
，∴φ=
π
4

（Ⅱ）解法一：由（I）得，f(x)=sin(ωx+
π
4
)依題意，
T
2
=
π
3
又T=
2π
ω
，故ω=3，∴f(x)=sin(3x+
π
4
)
函數(shù)f（x）的圖象向左平移m個單位后所對應的函數(shù)為g(x)=sin[3(x+m)+
π
4
]g（x）是偶函數(shù)當且僅當3m+
π
4
=kπ+
π
2
(k∈Z)即m=
kπ
3
+
π
12
(k∈Z)從而，最小正實數(shù)m=
π
12

解法二：由（I）得，f(x)=sin(ωx+
π
4
)，依題意，
T
2
=
π
3
又T=
2π
ω
，故ω=3，∴f(x)=sin(3x+
π
4
)
函數(shù)f（x）的圖象向左平移m個單位后所對應的函數(shù)為g(x)=sin[3(x+m)+
π
4
]，g（x）是偶函數(shù)當且僅當g（-x）=g（x）對x∈R恒成立
亦即sin(-3x+3m+
π
4
)=sin(3x+3m+
π
4
)對x∈R恒成立．∴sin(-3x)cos(3m+
π
4
)+cos(-3x)sin(3m+
π
4
)=sin3xcos(3m+
π
4
)+cos3xsin(3m+
π
4
)
即2sin3xcos(3m+
π
4
)=0對x∈R恒成立．∴cos(3m+
π
4
)=0
故3m+
π
4
=kπ+
π
2
(k∈Z)∴m=
kπ
3
+
π
12
(k∈Z)從而，最小正實數(shù)m=
π
12
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax+bsinx，當x=
π
3
時，取得極小值
π
3
-
3
．
（1）求a，b的值；
（2）對任意x1，x2∈[-
π
3
，
π
3
]，不等式f（x1）-f（x2）≤m恒成立，試求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設直線l：y=g（x），曲線S：y=F（x），若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件：①直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；②對任意x∈R都有g（x）≥F（x），則稱直線l與曲線S的“上夾線”．觀察下圖：

根據(jù)上圖，試推測曲線S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夾線”的方程，并作適當?shù)恼f明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-blnx在（1，2]是增函數(shù)，g（x）=x-b
x
在（0，1）為減函數(shù)．
（1）求b的值；
（2）設函數(shù)φ（x）=2ax-
1
x2
是區(qū)間（0，1]上的增函數(shù)，且對于（0，1]內(nèi)的任意兩個變量s、t，f（s）≥?（t）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=cos（ 2x+
π
3
）+sin2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足2
AC
•
CB
=
2
ab，c=2
2
，f（A）=
1
2
-
3
4
，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知矩陣A=
a2
1b
有一個屬于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
，
①求矩陣A；
②已知矩陣B=
1-1
01
，點O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩陣AB的對應變換作用下所得到的△O'M'N'的面積．
（2）已知在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為
x=t-3
y=
3
 t
（t為參數(shù)），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C的極坐標方程為ρ2-4ρco sθ+3=0．
①求直線l普通方程和曲線C的直角坐標方程；
②設點P是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的取值范圍．
（3）已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+1|．
①求不等式f（x）≥3的解集；
②若關于x的不等式f（x）≥a2-a在R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
a
2x
+xlnx，g（x）=x3-x2-x-1．
（1）如果存在x，x∈[0，2]，使得g（x）-g（x）≥M，求滿足該不等式的最大整數(shù)M；
（2）如果對任意的s，t∈[
1
3
，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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