Question

【題目】已知兩個不同的單位向量與之間滿足關系：，其中．

（1）若，求的解析式；

（2）能否和垂直？能否和平行？若不能，則說明理由；若能，則求出對應的k值；

（3）求與夾角的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）不能垂直，不能平行，理由見解析；（3）

【解析】

（1）將兩邊平方，根據單位向量的長度為1，可得結果；

（2）根據無解得到與不能垂直，根據無解得到與不能平行.

（3）根據基本不等式可得與夾角的余弦值的最小值，再根據余弦函數的單調性可得夾角的最大值.

（1）由，得，

得，

所以.

（2）若，則，則，此方程無解，故與不能垂直，

若，因為與是兩個不同的單位向量，則，即，因為，所以此方程無解，故與不能平行.

（3）設與夾角為，則，

當且僅當時，等號成立，此時取最小值，

因為，且在上遞減，所以取最大值，所以與夾角的最大值是.