Question

4．已知函數f（x）=x³-3x
（1）求函數f（x）的極值；
（2）過點P（2，-6）作曲線y=f（x）的切線，求此切線的方程．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過導數為0，判斷函數的單調性，然后求解函數的極值．
（2）設出切點，求出斜率，然后求解切線方程．

解答 解：（1）∵f（x）=x³-3x，∴f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）…（1分）
令f'（x）=0，解得x=-1或x=1…（2分）
列表如下

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

…（4分）
當x=-1時，有極大值f（-1）=2；當x=1時，有極小值f（1）=-2…（6分）
（2）設切點$（{{x_°}，x_°^3-3{x_°}}）$，∴$k={（{{x^3}-3x}）^′}\left|{_{x={x_°}}}\right.=3x_°^2-3$…（7分）
∴切線方程$y-（{x_°^3-3{x_°}}）=（{3x_°^2-3}）（{x-{x_°}}）$…（8分）
∵切線過點P（2，-6）∴$-6-（{x_°^3-3{x_°}}）=（{3x_°^2-3}）（{2-{x_°}}）$，
∴x_°=0或x_°=3…（10分）
所以切線方程為y=-3x或y=24x-54…（12分）

點評 本題考查函數的極值的求法，導數的應用，切線方程的求法，考查計算能力．