Question

20．如圖，△BCD與△MCD都是正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面ABM；
（Ⅱ）若∠ACB=60°，求三棱錐A-BCD與三棱錐M-ACD的體積比；
（Ⅲ）若AB=2$\sqrt{3}$，CD=2，求直線DM與平面ACM所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取CD的質(zhì)中點(diǎn)E，連結(jié)BE，ME，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出CD⊥BE，CD⊥ME，于是CD⊥平面BME，得出CD⊥BM，由AB⊥平面ABCD得AB⊥CD，于是CD⊥平面ABM；
（2）設(shè)正三角形邊長為a，求出AB的長和ME的長，由于V_A-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•AB$，V_M-ACD=V_A-MCD=V_B-MCD=V_M-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•ME$，故而兩棱錐的體積比等于AB與ME的比；
（3）以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，求出平面ACM的法向量$\overrightarrow{n}$，則所求角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{DM}$＞|．

解答 證明：（1）取CD的質(zhì)中點(diǎn)E，連結(jié)BE，ME．
∵△BCD與△MCD都是正三角形，E是CD的中點(diǎn)，
∴CD⊥BE，CD⊥ME，
又BE?平面BME，ME?平面BME，BE∩ME=E，
∴CD⊥平面BME，∵BM?平面BME，
∴CD⊥BM，
∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴CD⊥AB，又AB?平面ABM，BM?平面ABM，AB∩BM=B，
∴CD⊥平面ABM．
（2）設(shè)BC=a，則BE=ME=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$．
∵∠ACB=60°，∴AB=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$a．
∴V_A-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•AB$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×\sqrt{3}a$=$\frac{{a}^{3}}{4}$．
∵平面MCD⊥平面BCD，平面MCD∩平面BCD=CD，ME⊥CD，ME?平面CDM，
∴ME⊥平面BCD，
∴AB∥ME．
∴V_M-ACD=V_A-MCD=V_B-MCD=V_M-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•ME$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{{a}^{3}}{8}$．
∴三棱錐A-BCD與三棱錐M-ACD的體積比為2：1．
（3）以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖：
∵CD=2，AB=2$\sqrt{3}$，∴BE=ME=$\sqrt{3}$．
∴C（0，-1，0），D（0，1，0），M（0，0，$\sqrt{3}$），A（-$\sqrt{3}$，0，2$\sqrt{3}$）．
∴$\overrightarrow{DM}$=（0，-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CM}$=（0，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CA}$=（-$\sqrt{3}$，1，2$\sqrt{3}$）．
設(shè)平面ACM的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{CM}$，$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{CA}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y+\sqrt{3}z=0}\\{-\sqrt{3}x+y+2\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，1），
∴|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{5}$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}$=2$\sqrt{3}$．|$\overrightarrow{DM}$|=2．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{DM}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{DM}|}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴直線DM與平面ACM所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定，線面角的計(jì)算，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．