Question

已知x+2y+3z=1，則x²+y²+z²取最小值時(shí)，x+y+z的值為________．

Answer 1

分析：由柯西不等式可知：（x+2y+3z）²≤（x²+y²+z²）（1²+2²+3²），故x²+y²+z²≥，當(dāng)且僅當(dāng) 取等號(hào)，此時(shí)y=2x，z=3x，x+2y+3z=14x=1，由此能求出x+y+z的值．
解答：由柯西不等式可知：（x+2y+3z）²≤（x²+y²+z²）（1²+2²+3²）
故x²+y²+z²≥，當(dāng)且僅當(dāng) 取等號(hào)，
此時(shí)y=2x，z=3x，x+2y+3z=14x=1，
∴x=，y=，x=，
x+y+z=．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查柯西不等式的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意x²+y²+z²取最小值時(shí)的條件的靈活運(yùn)用．