已知函數(shù)f(x)=-x3-2mx2-m2x+1-m(其中m>-2)在點x=1處取得極值.
(1)求實數(shù)m的值;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值;
(3)若a≥0,b≥0,c≥0,且a+b+c=1,證明不等式
a
1+a2
+
b
1+b2
+
c
1+c2
9
10
分析:(1)由題可得f'(x)=-3x2-4mx-m2則f'(1)=0,即m2+4m+3=0所以m=-3或m=-1.
(2)由(1)得f'(x)=-3x2+4x-1,令f'(x)≥0,得f(x)在[0,1]上的增區(qū)間為[
1
3
,1]
,減區(qū)間為[0,
1
3
]
,進而得到函數(shù)的最值
50
27

(3)由(2)得(1+x2)(2-x)≥
50
27
即整理得
x
1+x2
27
50
(2x-x2)
可得
a
1+a2
+
b
1+b2
+
c
1+c2
27
50
(2a-a2+2b-b2+2c-c2)=
27
50
[2-(a2+b2+c2)]
解答:解:(1)由題可得f'(x)=-3x2-4mx-m2
則f'(1)=0,即m2+4m+3=0所以m=-3或m=-1,又m>-2,故m=-1
(2)由(1)知,f(x)=-x3+2x2-x+2,則f'(x)=-3x2+4x-1
令f'(x)≥0,得f(x)在[0,1]上的增區(qū)間為[
1
3
,1]
,減區(qū)間為[0,
1
3
]

所以f(x)min=f(
1
3
)=
50
27

(3)因f(x)=-x3+2x2-x+2=(1+x2)(2-x),x∈[0,1]
所以(1+x2)(2-x)≥
50
27
,即
1
1+x2
27
50
(2-x)

所以
x
1+x2
27
50
(2x-x2)

a
1+a2
+
b
1+b2
+
c
1+c2
27
50
(2a-a2+2b-b2+2c-c2)=
27
50
[2-(a2+b2+c2)
]
又1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)≤3(a2+b2+c2
所以a2+b2+c2
1
3

所以
a
1+a2
+
b
1+b2
+
c
1+c2
27
50
×(2-
1
3
)=
9
10
(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=
1
3
時取”=”)
點評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值,還考查了利用函數(shù)的最值證明不等式恒成立的知識點,導(dǎo)數(shù)與不等式相結(jié)合是高考考查的熱點,多以解答題的形式出現(xiàn)屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱,求φ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時,f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時f(x)的表達式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實數(shù)a的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實數(shù)m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實數(shù)a的取值范圍是
 

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