Question

18．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=AA₁=2，D為側(cè)棱AA₁的中點(diǎn)；
（1）求證：AC⊥平面BCC₁B₁；
（2）求異面直線B₁D與AC所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）由已知推導(dǎo)出AC⊥BC，CC₁⊥AC，由此能證明AC⊥平面BCC₁B₁．
（2）以C為原點(diǎn)，直線CA、CB、CC₁為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線B₁D與AC所成角的大�。�

解答 證明：（1）∵底面△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，
∴AC⊥BC，
∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁，∴CC₁⊥AC，
∵CC₁∩BC=C，∴AC⊥平面BCC₁B₁．
解：（2）以C為原點(diǎn)，直線CA、CB、CC₁為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C₁（0，0，2），B₁（0，2，2），D（2，0，1），
$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（2，-2，-1），$\overrightarrow{AC}$=（-2，0，0），
設(shè)異面直線B₁D與AC所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{B{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{{B}_{1}D}|}$=$\frac{|-4|}{\sqrt{9}•2}$=$\frac{2}{3}$．
∴$θ=arccos\frac{2}{3}$．
∴異面直線B₁D與AC所成角的大小為arccos$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．