Question

15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別a，b，c，其中a=2，A=60°，則b-2c的取值范圍為（-4，2）．

Answer 1

分析 由正弦定理用sinB、sinC表示出b、c，由內(nèi)角和定理求出C與B的關系式，代入b-2c利用兩角差的正弦公式化簡，根據(jù)B的范圍和余弦函數(shù)的性質得出b-2c的取值范圍．

解答 解：∵a=2，A=60°，∴由正弦定理得$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
則b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB，c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinC，
由A+B+C=π得B+C=$\frac{2π}{3}$，即C=$\frac{2π}{3}$-B，則0＜B＜$\frac{2π}{3}$，
∴b-2c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinB-2sinC）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$[sinB-2sin（$\frac{2π}{3}$-B）]
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinB-2×sin$\frac{2π}{3}$cosB+2×cos$\frac{2π}{3}$sinB）=-4cosB，
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，∴$-\frac{1}{2}＜cosB＜1$，則-4＜-4cosB＜2，
∴b-2c的取值范圍是（-4，2），
故答案為：（-4，2）．

點評 本題考查了正弦定理的應用，兩角和差的正弦函數(shù)公式，以及余弦函數(shù)的圖象與性質，屬于中檔題．