Question

已知橢圓 的左頂點(diǎn)為A，過A作兩條互相垂直的弦AM、AN交橢圓于M、N兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)直線AM的斜率為1時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)直線AM的斜率變化時，直線MN是否過x軸上的一定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，請給出證明，并求出該定點(diǎn)，若不過定點(diǎn)，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線AM的斜率為1時，得出直線AM：y=x+2，代入橢圓方程并化簡得：5x²+16x+12=0，解得點(diǎn)M的坐標(biāo)即可；（2）對于是否過x軸上的一定點(diǎn)問題，可先假設(shè)存在，設(shè)直線AM的斜率為k，則AM：y=k（x+2），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系即可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)，從而解決問題．
解答：解：（1）直線AM的斜率為1時，直線AM：y=x+2，（1分）
代入橢圓方程并化簡得：5x²+16x+12=0，（2分）
解之得，∴．（4分）
（2）設(shè)直線AM的斜率為k，則AM：y=k（x+2），
則化簡得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．（6分）
∵此方程有一根為-2，∴，（7分）
同理可得．（8分）
由（1）知若存在定點(diǎn)，則此點(diǎn)必為．（9分）
∵，（11分）
同理可計算得．（13分）
∴直線MN過x軸上的一定點(diǎn)．（16分）
點(diǎn)評：本題考查直接法求軌跡方程、直線與拋物線的位置關(guān)系、直線過定點(diǎn)問題．考查推理能力和運(yùn)算能力．