分析 (1)利用已知條件列出方程,求出橢圓的幾何量,即可得到橢圓方程.
(2)①橢圓C的右焦點(diǎn)F(√3,0).設(shè)切線方程為y=k(x−√3),利用點(diǎn)到直線的距離公式,求出K得到直線方程,聯(lián)立直線與橢圓方程,求出交點(diǎn)坐標(biāo),得到PQ,然后求解三角形的面積.
②(i)若直線PQ的斜率不存在,則直線PQ的方程為x=√2或x=−√2.利用→OP•→OQ=0,推出OP⊥OQ.
(ii)若直線PQ的斜率存在,設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m,通過|m|√k2+1=√2,將直線PQ方程代入橢圓方程,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),利用韋達(dá)定理,結(jié)合m2=2k2+2,→OP•→OQ=0,推出結(jié)果.
解答 解:(1)由題意,得ca=√22,4a2+1b2=1,解得a2=6,b2=3.
所以橢圓的方程為x26+y23=1.
(2)①橢圓C的右焦點(diǎn)F(√3,0).
設(shè)切線方程為y=k(x−√3),即kx−y−√3k=0,
所以|−√3k|√k2+1=√2,解得k=±√2,所以切線方程為y=±√2(x−√3).
由方程組{x26+y23=1y=√2(x−√3)解得{x=4√3+3√25y=−√6+65或{x=4√3−3√25y=−√6−65,
所以PQ=6√65.
因為O到直線PQ的距離為√2,所以△OPQ的面積為6√35.
綜上所述,△OPQ的面積為6√35.
②(i)若直線PQ的斜率不存在,則直線PQ的方程為x=√2或x=−√2.
當(dāng)x=√2時,P(√2,√2),Q(√2,−√2).
因為→OP•→OQ=0,所以O(shè)P⊥OQ.
當(dāng)x=−√2時,同理可得OP⊥OQ.
(ii)若直線PQ的斜率存在,設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m,即kx-y+m=0.
因為直線與圓相切,所以|m|√k2+1=√2,即m2=2k2+2.
將直線PQ方程代入橢圓方程,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0.
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則有x1+x2=−4km1+2k2,x1x2=2m2−61+2k2,
因為→OP•→OQ=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)×2m2−61+k2+km×(−4km1+k2)+m2.
將m2=2k2+2代入上式可得→OP•→OQ=0,所以O(shè)P⊥OQ.
綜上所述,OP⊥OQ.
點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法,直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (1,0) | B. | (-1,0) | C. | (0,1) | D. | (0,-1) |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (-1,0) | B. | (0,1) | C. | (1,2) | D. | (2,3) |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 15 | B. | 20 | C. | 25 | D. | 30 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (x+1x)′=1+1x2 | B. | (log2x)′=1xln2 | ||
C. | (3x)′=3x•log 3e | D. | (x2cos x)′=-2xsin x |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com