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14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,點(diǎn)(2,1)在橢圓C上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線l與圓O:x2+y2=2相切,與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn).
①若直線l過橢圓C的右焦點(diǎn)F,求△OPQ的面積;
②求證:OP⊥OQ.

分析 (1)利用已知條件列出方程,求出橢圓的幾何量,即可得到橢圓方程.
(2)①橢圓C的右焦點(diǎn)F30.設(shè)切線方程為y=kx3,利用點(diǎn)到直線的距離公式,求出K得到直線方程,聯(lián)立直線與橢圓方程,求出交點(diǎn)坐標(biāo),得到PQ,然后求解三角形的面積.
②(i)若直線PQ的斜率不存在,則直線PQ的方程為x=2x=2.利用OPOQ=0,推出OP⊥OQ.
(ii)若直線PQ的斜率存在,設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m,通過|m|k2+1=2,將直線PQ方程代入橢圓方程,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),利用韋達(dá)定理,結(jié)合m2=2k2+2,OPOQ=0,推出結(jié)果.

解答 解:(1)由題意,得ca=224a2+1b2=1,解得a2=6,b2=3.
所以橢圓的方程為x26+y23=1
(2)①橢圓C的右焦點(diǎn)F30
設(shè)切線方程為y=kx3,即kxy3k=0,
所以|3k|k2+1=2,解得k=±2,所以切線方程為y=±2x3
由方程組{x26+y23=1y=2x3解得{x=43+325y=6+65{x=43325y=665
所以PQ=665
因為O到直線PQ的距離為2,所以△OPQ的面積為635
綜上所述,△OPQ的面積為635
②(i)若直線PQ的斜率不存在,則直線PQ的方程為x=2x=2
當(dāng)x=2時,P22Q22
因為OPOQ=0,所以O(shè)P⊥OQ.
當(dāng)x=2時,同理可得OP⊥OQ.
(ii)若直線PQ的斜率存在,設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m,即kx-y+m=0.
因為直線與圓相切,所以|m|k2+1=2,即m2=2k2+2.
將直線PQ方程代入橢圓方程,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0.
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則有x1+x2=4km1+2k2x1x2=2m261+2k2,
因為OPOQ=x1x2+y1y2=x1x2+kx1+mkx2+m=1+k2x1x2+kmx1+x2+m2=1+k2×2m261+k2+km×4km1+k2+m2
將m2=2k2+2代入上式可得OPOQ=0,所以O(shè)P⊥OQ.
綜上所述,OP⊥OQ.

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法,直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

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