Question

已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|2x-1|（a∈R）．
（l）當(dāng)a=1，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若f（x）≤2x的解集包含[

1

2

，1]，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式

分析：對(duì)第（1）問，利用零點(diǎn)分段法，令|x+1|=0，|2x-1|=0，獲得分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，最后取各部分解集的并集即可；
對(duì)第（2）問，不等式f（x）≤2x的解集包含[

1

2

，1]，等價(jià)于f（x）≤2x在[

1

2

，1]內(nèi)恒成立，由此去掉一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，再探究f（x）≤2x的解集與區(qū)間[

1

2

，1]的關(guān)系．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，由f（x）≥2，得|x+1|+|2x-1|≥2，
①當(dāng)x≥

1

2

時(shí)，原不等式可化為（x+1）+（2x-1）≥2，得x≥

2

3

，
∴x≥

2

3

；
②當(dāng)-1≤x＜

1

2

時(shí)，原不等式可化為（x+1）-（2x-1）≥2，得x≤0，
∴-1≤x≤0；
③當(dāng)x＜-1時(shí)，原不等式可化為-（x+1）-（2x-1）≥2，得x≤-

2

3

，
∴x＜-1．
綜上知，原不等式的解集為{x|x≤0，或x≥

2

3

}．
（2）不等式f（x）≤2x的解集包含[

1

2

，1]，等價(jià)于f（x）≤2x在[

1

2

，1]內(nèi)恒成立，
從而原不等式可化為|x+a|+（2x-1）≤2x，即|x+a|≤1，
∴當(dāng)x∈[

1

2

，1]時(shí)，-a-1≤x≤-a+1恒成立，
∴

-a-1≤ 1 2 -a+1≥1

，解得-

3

2

≤a≤0，
故a的取值范圍是[-

3

2

，0]．

點(diǎn)評(píng)：1．本題考查了含兩個(gè)絕對(duì)值不等式的解法，一般有零點(diǎn)分段法，函數(shù)圖象法等．
2．第（2）問的關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)換成不等式恒成立問題，這也是本題的難點(diǎn)所在．