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16.設(shè)x>0,y>0,已知(x2+1-x+1)(y2+1-y+1)=2,則xy-2=-1.

分析 設(shè)x=tanα>0,y=tanβ>0,代入已知條件,運(yùn)用三角函數(shù)恒等變換公式,化簡整理,即可得到所求值.

解答 解:設(shè)x=tanα>0,y=tanβ>0,
則(x2+1-x+1)(y2+1-y+1)=2
即為(\sqrt{1+ta{n}^{2}α}-tanα+1)(\sqrt{1+ta{n}^{2}β}-tanβ+1)=2,
即有(secα-tanα+1)(secβ-tanβ+1)=2,
\frac{1-sinα+cosα}{cosα}\frac{1-sinβ+cosβ}{cosβ}=2,
\frac{2co{s}^{2}\frac{α}{2}-2sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}}{(cos\frac{α}{2}-sin\frac{α}{2})(cos\frac{α}{2}+sin\frac{α}{2})}=\frac{2cos\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}+sin\frac{α}{2}}=\frac{2}{1+tan\frac{α}{2}}
可得\frac{2}{1+tan\frac{α}{2}}\frac{2}{1+tan\frac{β}{2}}=2,
即有(1+tan\frac{α}{2})(1+tan\frac{β}{2})=2,
即tan\frac{α}{2}+tan\frac{β}{2}=1-tan\frac{α}{2}tan\frac{β}{2},
可得tan\frac{α+β}{2}=\frac{tan\frac{α}{2}+tan\frac{β}{2}}{1-tan\frac{α}{2}tan\frac{β}{2}}=1,
由α,β為銳角,可得\frac{α+β}{2}=45°,
則α+β=90°,
即有xy-2=tanαtanβ-2=tanαtan(90°-α)-2
=tanαcotα-2=1-2=-1.
故答案為:-1.

點(diǎn)評 本題考查運(yùn)用三角換元求值的方法,考查三角函數(shù)的恒等變換公式的運(yùn)用,考查化簡運(yùn)算能力,屬于難題.

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