【題目】已知函數(shù)fx

1)討論函數(shù)fx)的單調(diào)性;

2)證明:a1時(shí),fx+gx)﹣(1lnxe

【答案】1)詳見解析;(2)證明見解析

【解析】

1)對(duì)求導(dǎo)后,再對(duì)a分類討論即可得出函數(shù)的單調(diào)性.

2a1時(shí),將所證不等式轉(zhuǎn)化為exex+1,Fx)=exex+1,Gx,分別根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出的最小值和的最大值即可證明不等式成立.

1fxalnx,(x∈(0,+∞)).

當(dāng)a≤0時(shí),0,函數(shù)fx)在x∈(0+∞)上單調(diào)遞減.

a0時(shí),由,,由,

所以函數(shù)在(0)上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增.

2)證明:a1時(shí),要證fx+gx)﹣(1lnxe

即要證:lnxe0exex+1x∈(0,+∞).

Fx)=exex+1Fx)=exe,

當(dāng)x∈(0,1)時(shí),F′(x)<0,此時(shí)函數(shù)Fx)單調(diào)遞減;

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),F′(x)>0,此時(shí)函數(shù)Fx)單調(diào)遞增.

可得x1時(shí),函數(shù)Fx)取得最小值,F1)=1

Gx,Gx

當(dāng)時(shí),,此時(shí)為增函數(shù),

當(dāng)時(shí)。,此時(shí)為減函數(shù)

所以xe時(shí),函數(shù)Gx)取得最大值,Ge)=1.

x1xe不同時(shí)取得,因此Fx)>Gx),即exex+1x∈(0+∞).

故原不等式成立.

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A.B.C.D.

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