Question

函數(shù)f（x）=xe^x-a有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

-

1

e

＜a＜0

．

Answer 1

分析：由函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)法，可得當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取最小值，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則最小值f（-1）＜0，結(jié)合a≥0時(shí)，x∈（-∞，-1）時(shí)，f（x）=xe^x-a＜0恒成立，不存在零點(diǎn)，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍

解答：解：∵函數(shù)f（x）=xe^x-a的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=（x+1）e^x，
令f′（x）=0，則x=-1
∵當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
故當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取最小值f（-1）=-e^-1-a
若函數(shù)f（x）=xe^x-a有兩個(gè)零點(diǎn)，則f（-1）=-e^-1-a＜0
即a＞-

1

e

又∵a≥0時(shí)，x∈（-∞，-1）時(shí)，f（x）=xe^x-a＜0恒成立，不存在零點(diǎn)
故a＜0
綜上，-

1

e

＜a＜0
故答案為：-

1

e

＜a＜0

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，其中熟練掌握函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解答的關(guān)鍵，解答時(shí)易忽略a≥0時(shí)，x∈（-∞，-1）時(shí)，f（x）=xe^x-a＜0恒成立，不存在零點(diǎn)，而錯(cuò)解為a＞-

1

e

．