Question

已知：如圖，⊙O₁與⊙O₂外切于C點(diǎn)，AB一條外公切線，A、B分別為切點(diǎn)，連接AC、BC．設(shè)⊙O₁的半徑為R，⊙O₂的半徑為r，若tan∠ABC=

2

，則

R

r

的值為（　�。�

• A、

  2

• B、

  3

• C、2
• D、3

Answer 1

分析：根據(jù)切線長(zhǎng)定理先證明∠ACB=90°，得直角三角形ABC；再由tan∠ABC=

AC

BC

=

2

，得兩圓弦長(zhǎng)的比；進(jìn)一步求半徑的比．

解答：解：如圖，連接O₂B，O₁A，過(guò)點(diǎn)C作兩圓的公切線CF，交于AB于點(diǎn)F，作O₁E⊥AC，O₂D⊥BC，
由垂徑定理可證得點(diǎn)E，點(diǎn)D分別是AC，BC的中點(diǎn)，
由弦切角定理知，
∠ABC=∠FCB=

1

2

∠BO₂C，∠BAC=∠FCA=

1

2

∠AO₁C，
∵AO₁∥O₂B，
∴∠AO₁C+∠BO₂C=180°，
∴∠FCB+∠FCA=∠ACB=90°，
即△ACB是直角三角形，
∴∠ABC=∠BO₂D=∠ACO₁，
設(shè)∠ABC=∠BO₂D=∠ACO₁=β，
則有sinβ=

BC

2r

，cosβ=

AC

2R

，
∴tanβ=

R

r

•

BC

AC

=

R

r

•

1

tanβ

，
∴（tanβ）²=

R

r

=2．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合性較強(qiáng)，綜合了圓的有關(guān)知識(shí)，所以學(xué)生所學(xué)的知識(shí)要系統(tǒng)起來(lái)，不可單一．