Question

12．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的三邊長分別是a，b，c，且滿足c（bcosA-$\frac{a}{2}$）=b²-a²．
（I）求角B的大�。�
（Ⅱ）若BD為AC邊上的中線，cosA=$\frac{1}{7}$，BD=$\frac{\sqrt{129}}{2}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理將角化邊得出a，b，c的關(guān)系，再使用余弦定理計(jì)算cosB；
（2）先根據(jù)兩角和差的正弦公式求出sinC，再根據(jù)正弦定理得到b，c的關(guān)系，再利用余弦定理可求b，c的值，再由三角形面積公式可求結(jié)果．

解答 解；（1）在△ABC中，∵c（bcosA-$\frac{a}{2}$）=b²-a²，cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
∴b²+c²-a²-ac=2b²-2a²．即a²+c²-b²=ac．
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，又B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵cosA=$\frac{1}{7}$，∴sinA=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{7}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∴$\frac{c}$=$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{7}{5}$，
設(shè)b=7x，c=5x，則AD=$\frac{2}$=$\frac{7x}{2}$．
在△ABD中，由余弦定理得BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosA，
∴$\frac{129}{4}$=25x²+$\frac{1}{4}$×49x²-2×5x×$\frac{7}{2}$x×$\frac{1}{7}$
解得x=1，
∴b=7，c=5，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×35×$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=10$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查正弦定理、余弦定理及三角形的面積公式，熟記相關(guān)公式并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．