Question

已知a，b，c分別是△ABC中角A，B，C的對邊，且sin²A+sin²C-sin²B=sinAsinC．
（1）求角B的大小；
（2）若c=3a，求tanA的值．

Answer 1

解：（1）∵sin²A+sin²C-sin²B=sinAsinC，
∴根據正弦定理，得a²+c²-b²=ac
因此，cosB==
∵B∈（0，π），∴B=，即角B的大小為；
（2）∵c=3a，∴根據正弦定理，得sinC=3sinA
∵B=，
∴sinC=sin（A+B）=sin（A+）=3sinA
可得sinA+cosA=3sinA，得cosA=sinA
兩邊都除以cosA，得=tanA，所以tanA=．
分析：（1）根據正弦定理，將已知等式化簡得a²+c²-b²=ac，結合余弦定理算出cosB=，從而可得角B的大小為；
（2）由c=3a結合正弦定理，得sinC=3sinA，而sinC=sin（A+B），將B=代入展開并化簡得cosA=sinA，最后根據同角三角函數的商數關系，可算出tanA的值．
點評：本題給出三角形的三個角的正弦的關系式，求角B的大小并在c=3a的情況下求tanA的值．著重考查了利用正余弦定理解三角形、兩角和的正弦公式和同角三角函數的基本關系等知識，屬于中檔題．