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16.函數(shù)f(x)=2cos(ωx+θ)(x∈R,ω>0,0≤θ≤\frac{π}{2})的圖象與x軸相交于點(diǎn)(\frac{π}{6},0),且函數(shù)相鄰兩條對稱軸的距離為\frac{π}{2}
(1)求θ和ω的值;
(2)若f(\frac{1}{2}x+\frac{π}{6})=\frac{8}{5},x∈(-\frac{π}{2}\frac{π}{2}),求\frac{sin2x}{1+cos2x}值.

分析 (1)根據(jù)對稱軸的距離得出周期,求出ω,根據(jù)特殊點(diǎn)求出θ;
(2)根據(jù)f(x)解析式得出sinx,利用同角三角函數(shù)的關(guān)系和二倍角公式計(jì)算sin2x,cos2x.

解答 解:(1)∵f(x)圖象的相鄰兩條對稱軸的距離為\frac{π}{2}
∴f(x)的周期T=π,即\frac{2π}{ω}=π,解得ω=2.
∵f(x)圖象過點(diǎn)(\frac{π}{6},0),∴2cos(\frac{π}{3}+θ)=0,
\frac{π}{3}+θ=\frac{π}{2}+kπ,解得θ=\frac{π}{6}+kπ.
∵0≤θ≤\frac{π}{2},∴θ=\frac{π}{6}
(2)由(1)知f(x)=2cos(2x+\frac{π}{6}),
∴f(\frac{1}{2}x+\frac{π}{6})=2cos(x+\frac{π}{2})=-2sinx=\frac{8}{5},
∴sinx=-\frac{4}{5}
∵x∈(-\frac{π}{2},\frac{π}{2}),∴cosx=\sqrt{1-si{n}^{2}x}=\frac{3}{5}
∴sin2x=2sinxcosx=-\frac{24}{25},cos2x=cos2x-sin2x=-\frac{7}{25}
\frac{sin2x}{1+cos2x}=\frac{-\frac{24}{25}}{1-\frac{7}{25}}=-\frac{4}{3}

點(diǎn)評 本題考查了余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),三角函數(shù)的恒等變換,屬于中檔題.

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