Question

已知圓F1：（x+1）²+y²=16，定點(diǎn)F2（1，0），動(dòng)圓M過(guò)點(diǎn)F₂，且與圓F₁相內(nèi)切．
（1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；
（2）若過(guò)原點(diǎn)且傾斜角的余弦值為

2 5

5

的直線(xiàn)l與（1）中的曲線(xiàn)C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，求△ABF₁的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,橢圓的定義

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出M的半徑，依據(jù)題意列出關(guān)系MF₁+MF₂=4，可求軌跡C的方程．
（2）根據(jù)題意，直線(xiàn)的方程為y=

1

2

x，代入橢圓方程，可以求得A、B的坐標(biāo)，即可求△ABF₁的面積．

解答： 解：（1）設(shè)圓M的半徑為r．
因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)F₂，且與圓F₁相內(nèi)切，所以MF₂=r，
所以MF₁=4-MF₂，即：MF₁+MF₂=4，
所以點(diǎn)M的軌跡C是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓，
其中2a=4，c=1，所以a=2，b=

3

，
所以曲線(xiàn)C的方程

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由題意，直線(xiàn)的方程為y=

1

2

x，代入橢圓方程可得y=±

3

2

，
∴△ABF₁的面積為2×

1

2

×1×

3

2

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，橢圓的定義，是中檔題．