Question

在直三棱住ABC-A₁B₁C₁，中CA=CB=CC₁=2，∠ACB=90°．E、F分別是BC、A₁A的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面A₁C₁B；
（2）求異面直線EF與A₁C₁所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（1）取CC₁的中點(diǎn)M，連結(jié)ME，MF，由已知得平面MEF∥平面A₁C₁B，由此能證明EF∥平面A₁C₁B．
（2）由MF∥A₁C₁，得∠EFM為異面直線EF與A₁C₁所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出異面直線EF與A₁C₁所成的角的余弦值．

解答： （1）證明：如圖，取CC₁的中點(diǎn)M，連結(jié)ME，MF，
則ME∥BC₁，MF∥A₁C₁，且ME∩MF=M，
∴平面MEF∥平面A₁C₁B，又EF?平面MEF，
∴EF∥平面A₁C₁B．
（2）∵M(jìn)F∥A₁C₁，
∴∠EFM為異面直線EF與A₁C₁所成角（或所成角的補(bǔ)角），
∵CA=CB=CC₁=2，∠ACB=90°．E、F分別是BC、A₁A的中點(diǎn)
∴在△EFM中，EM=

2

，EF=

6

，
∴cos∠EFM=

EF2+FM2-EM2

2EF•FM

=

6

3

，
∴異面直線EF與A₁C₁所成的角的余弦值為

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成角的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．