已知函數(shù)f(x)=ex-x.
(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)已知t為實數(shù),求函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+2]上的最小值;
(Ⅲ)定義在區(qū)間D上的函數(shù)g(x),若存在區(qū)間[a,b]⊆D及實常數(shù)m,當x∈[a,b]時,g(x)的取值范圍恰為[a+m,b+m],則稱區(qū)間[a,b]為g(x)的一個同步偏移區(qū)間,m為同步偏移量.試問函數(shù)y=[f(x)+x](x2-1)在(1,+∞)上是否存在同步偏移區(qū)間?若存在,請求出一個同步偏移區(qū)間及對應(yīng)的偏移量,若不存在,請說明理由.
考點:利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程
專題:導數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)根據(jù)切線的斜率就是函數(shù)在切點處的導數(shù),這一問不難求出.
(Ⅱ)t取值的不同決定著f(x)取到的最小值,所以討論t便可.
(Ⅲ)根據(jù)同步偏移區(qū)間的定義,先求出所給函數(shù)的取值范圍,讓這組范圍的兩個端點值分別和區(qū)間[a+m,b+m]的兩個端點值相等,便得出兩組等式,去驗證這兩組等式是否成立即可.
解答: 解:(Ⅰ)由題意知f(1)=e-1,f′(x)=ex-1;
∴函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率k=e-1;
∴切線方程為y-(e-1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x;
(Ⅱ)令f'(x)=ex-1=0,得x=0;
所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
所以:(1)當t+2≤0,即t≤-2時,f(x)在[t,t+2]上單調(diào)遞減,所以,f(x)的最小值是f(t+2)=et+2-t-2;
(2)當t<0,且t+2>0,即-2<t<0時,f(x)在[t,0)上單調(diào)遞減,在(0,t+2]上單調(diào)遞增,所以f(x)的最小值是f(0)=1;
(3)當t≥0時,f(x)在[t,t+2]上單調(diào)遞增,所以f(x)的最小值是f(t)=et-t.
(Ⅲ)函數(shù)y=[f(x)+x](x2-1)在(1,+∞)上不存在同步偏移區(qū)間 …(10分)
證明如下:
假設(shè)函數(shù)g(x)=[f(x)+x](x2-1)=(x2-1)ex存在同步偏移區(qū)間[a,b];
則g′(x)=(x2+2x-1)ex
∵x>1時,g′(x)>0,∴g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增;
所以g(x)的取值范圍是:[(a2-1)ea,(b2-1)eb];根據(jù)同步平移區(qū)間,則有:(a2-1)ea=a+m,(b2-1)eb=b+m;
所以方程(x2-1)ex=x+m有兩個大于1的相異實根;
設(shè)φ(x)=(x2-1)ex-x-m(x>1),則φ′(x)=(x2+2x-1)ex-1;
∵x>1,φ′(x)>0,∴φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增;
∴φ(x)在區(qū)間(1,+∞)上至多有一個零點;
這與方程(x2-1)ex=x+m有兩個大于1的相異實根矛盾;
∴假設(shè)不成立,即g(x)在(1,+∞)上不存在同步偏移區(qū)間.
點評:1.切線的斜率等于函數(shù)在切點的導數(shù),這個知識點要熟記.
2.掌握利用導數(shù)解決求函數(shù)最值問題的一般過程.
3.至于第三問,要理解同步偏移量是什么回事,在不好確定同步平移空間時,可假定存在,在驗證所得等式即可.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

直線m,n均不在平面α,β內(nèi),給出下列命題:
①若m∥n,n∥α,則m∥α;
②若m∥β,α∥β,則m∥α;
③若m⊥n,n⊥α,則m∥α;
④若m⊥β,α⊥β,則m∥α;
則其中正確命題的個數(shù)是(  )
A、1B、2C、3D、4

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已知函數(shù)f(x)=ex(ax+b)-x2+4x,曲線y=f(x)在點(0,f(0))處切線方程為y=2x-3.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)討論f(x)的單調(diào)性,并求f(x)的極小值.

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在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且a2+c2-b2=ac,
(1)求角B的值;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+B),求f(
π
6
)的值.

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在某醫(yī)院,因為患心臟病而住院的60名男性病人中有40人禿頂;而另外50名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有20人禿頂.求:
(1)根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表:
(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為禿頂與患心臟病有關(guān)系?(附錄(1):利用隨機變量公式K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
可得觀測值為k.(2)參照附表:
P(K2≥k)0.0500.0100.001
k3.8416.63510.828

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(x2-ax+a)ex-x2,a∈R.
(Ⅰ)設(shè)函數(shù)g(x)=
f(x)
x
,當a=0時.討論g(x)的單調(diào)性.
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

將數(shù)列{an}按如圖所示的規(guī)律排成一個三角形數(shù)表,并同時滿足以下兩個條件:①各行的第一個數(shù)a1,a2,a5,…構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列;②從第二行起,每行各數(shù)按從左到右的順序都構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列.若a1=1,a3=4,a5=3.
(Ⅰ)求d,q的值;
(Ⅱ)求第n行各數(shù)的和T.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

下表是某次自主招生考試中,某學習小組的4名同學的數(shù)學、物理成績:
學   生ABCD
數(shù)學(x)130125120145
物理(y)125120105130
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),用最小二乘法求物理分數(shù)y關(guān)于數(shù)學分數(shù)x的回歸直線方程
y
=
b
x+
a
;
(2)若某同學在此次考試中數(shù)學得分為116.利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測他本次考試的物理成績.
附:回歸方程
y
=
b
x+
a
其中
b
=
 
 
n
i=1
(xi-
.
x
)(yi-
.
y
)
 
 
n
i-1
(xi-
.
x
)
2
,
a
=
.
y
-
b
.
x

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知∈R,函數(shù)f(x)=x2-2alnx.
(1)當a=1時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間和最值;
(2)若a>0,試證明:“方程f(x)=2ax有唯一解”的充要條件是“a=
1
2
”.

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