Question

已知函數(shù)若函數(shù)在x = 0處取得極值．
(1) 求實數(shù)的值；
(2) 若關于x的方程在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；
(3) 證明：對任意的自然數(shù)n，有恒成立．

Answer 1

(1)；(2) ；(3)見解析.

試題分析：(1)先有已知條件寫出的解析式，然后求導，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)極值的關系得到，解得的值；(2)由構造函數(shù)，則在上恰有兩個不同的實數(shù)根等價于在恰有兩個不同實數(shù)根，對函數(shù)求導，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系找到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再由零點的存在性定理得到，解不等式組即可；(3) 證明不等式，即是證明.對函數(shù)求導，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，找到其在區(qū)間上的最大值，則有成立，那么不等式成立，利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得的單調(diào)性與最小值，根據(jù)，那么，所給不等式得證.
試題解析：(1) 由題意知則，   2分
∵時， 取得極值，∴，故，解得．
經(jīng)檢驗符合題意．                                                       4分
(2)由知
由 ，得，                          5分
令，
則在上恰有兩個不同的實數(shù)根等價于在恰有兩個不同實數(shù)根． ，         7分
當時，，于是在上單調(diào)遞增；
當時，，于是在上單調(diào)遞減．依題意有
，即，　．9分
(3) 的定義域為，由(1)知，
令得，或 (舍去)，                 11分
∴當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減．　　∴為在(-1，+∞)上的最大值．
∴，故 (當且僅當時，等號成立)  12分
對任意正整數(shù)，取得，，
令 則在為增函數(shù)，
所以，即恒成立．
對任意的自然數(shù)，有恒成立．                  14分