Question

（2012•開(kāi)封二模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建極坐標(biāo)系，已知曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），過(guò)點(diǎn)P（-2，-4）的直線l的參數(shù)方程為：

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，直線l與曲線C分別交于M，N．

（1）寫(xiě)出曲線C和直線L的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求a的值．

Answer 1

分析：（1）把極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以ρ后，代入極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式得答案；由直線的參數(shù)方程可得直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)和直線的傾斜角，求出斜率后直接寫(xiě)出直線的點(diǎn)斜式方程；
（2）把直線的參數(shù)方程代入拋物線方程，由|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，借助于直線方程的參數(shù)的幾何意義列式求解a的值．

解答：解：（1）由ρsin²θ=2acosθ，得ρ²sin²θ=2aρcosθ，
即y²=2ax；
由

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，可知直線過(guò)（-2，-4），且傾斜角為

π

4

，
∴直線的斜率等于1，∴直線方程為y+4=x+2，即y=x-2；
（2）直線l的參數(shù)方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t為參數(shù)），
代入y²=2ax得到t2-2

2

(4+a)t+8(4+a)=0，
則有t1+t2=2

2

(4+a)，t1t2=8(4+a)，
因?yàn)閨MN|²=|PM|•|PN|，
所以(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1t2=t1t2，
即8（4+a）²=5×8（4+a）．
解得a=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的參數(shù)方程，考查了簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，訓(xùn)練了等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題．