Question

20．已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）滿足f（x）=-f（x+$\frac{π}{2}$），對(duì)任意x都有f（x）≤f（$\frac{π}{6}$）=3，則g（x）=2cos（ωx+φ）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值為（　�。�

• A． 4
• B． $\sqrt{3}$
• C． 1
• D． -2

Answer 1

分析 由題意可得f（x）的最小正周期為π，由此求得ω，根據(jù)當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）取最大值且最大值為3，求得φ=$\frac{π}{6}$，由此可得g（x）的解析式，字啊利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得g（x）的最大值．

解答 解：由f（x）=-f（x+$\frac{π}{2}$）知，f（x+π）=-f（x+$\frac{π}{2}$）=f（x），所以f（x）的最小正周期為π，
所以，$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2，由對(duì)任意x都有f（x）≤f（$\frac{π}{6}$）=3知，當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）取最大值且最大值為3，
所以，$\frac{π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，且A=3，∴x=2kπ+$\frac{π}{6}$．
結(jié)合|φ|＜$\frac{π}{2}$，求得φ=$\frac{π}{6}$．
所以，$g（x）=2cos（2x+\frac{π}{6}）$，因?yàn)閤∈[0，$\frac{π}{2}$]，所以，$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，
由余弦函數(shù)圖象知${g_{max}}（x）=2cos\frac{π}{6}=\sqrt{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．