已知a＞0，b＞0，求證下列各式：
（1）
a2+b2
2
≥
a+b
2
．
（2）a+b≥
ab
+
a2+b2
2
．
考點：不等式的證明
專題：證明題,不等式的解法及應用
分析：（1）利用a+b＞0且a2+b2≥2ab，即可證明
a2+b2
2
≥
a+b
2
．
（2）由（1）可知，a+b≤2
a2+b2
2
，可得
ab
+
a2+b2
2
≤2
ab+
a2+b2
2
2
=a+b，即可證明a+b≥
ab
+
a2+b2
2
．
解答： 證明：（1）∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0且a2+b2≥2ab…（1分）
∴
a2+b2
2
≥
a2+b2+2ab
4
=
a+b
2
（當且僅當a=b時等號成立） …（5分）
∴
a2+b2
2
≥
a+b
2
 …（6分）
（2）∵a＞0，b＞0，∴由（1）可知，a+b≤2
a2+b2
2
 …（7分）
∴
ab
+
a2+b2
2
≤2
ab+
a2+b2
2
2
=a+b…（9分）
當且僅當
ab
=
a2+b2
2
即a=b時等號成立 …（11分）
∴a+b≥
ab
+
a2+b2
2
…（12分）
點評：本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，難度中等．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

曲線y=x3+x-2在點P0處的切線平行于直線y=4x-1，則點P0的坐標是（　　）
A、（0，1）
B、（-1，-5）
C、（1，0）或（-1，-4）
D、（0，1）或（4，1）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3=9，S9=36，則a7+a8+a9等于（　�。�
A、15B、12C、36D、27

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，F(xiàn)1、F2是離心率為
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，直線l：x=-1將線段F1F2分成兩段，其長度之比為1：3．設A、B是橢圓C上的兩個動點，線段AB的中垂線與橢圓C交于P、Q兩點，線段AB的中點M在直線l上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求
F2P
•
F2Q
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

甲、乙、丙三人獨立破譯一種密碼，他們破譯成功的概率分別為
1
2
，
3
5
，
3
4
求：
（1）三人同時破譯，恰有一人破譯成功的概率；
（2）三人同時破譯，能破譯成功的概率；
（3）要使破譯成功的概率不小于95%，至少需要丙這樣的人多少個？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知x是第三象限角，且cosx-sinx
5
5
．
（1）求cosx+sinx的值；
（2）求2sin2x-sinxcosx+cos2x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知（x+
3
3x
）n的展開式中，各項系數(shù)的和與其二項式系數(shù)的和之比為64．
（1）求含x2的項的系數(shù)；
（2）求展開式中所有的有理項；
（3）求展開式中系數(shù)最大的項．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）求值sin2120°+cos180°+tan45°-cos2（-330°）+sin（-210°）；
（2）化簡：
1-2sin10°cos10°
sin170°-
1-sin2170°
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1，已知側面BB1C1C與底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B1BC=60°，BC=BB1=2，若二面角A-B1B-C為30°，
（Ⅰ）證明：面AA1C1C⊥平面BB1C1C及求AB1與平面AA1C1C所成角的正切值；
（Ⅱ）在平面AA1B1B內找一點P，使三棱錐P-BB1C為正三棱錐，并求此時
VP-AA1C1C
VP-BB1C1C
的值．

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