Question

已知函數(shù)f（x）=x²+px+q，不等式f（x）＜0的解集為{x|2＜x＜5}
（1）求實數(shù)p，q的值；
（2）若當2≤x≤5時，f（x）＜x+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若實數(shù)m＞0，解關(guān)于x的不等式f（x）＜mx²-6x+m+11．

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=x²+px+q，當f（x）＜0時，有2＜x＜5．
∴2，5是方程x²+px+q=0的兩根
∴
∴p=-7，q=10；
（2）由題意知，m＞x²-8x+10在[2，5]上恒成立，
又x²-8x+10=（x-4）²-6，當x=4時有最大值-2，
所以m＞-2．
（3）即解不等式（m-1）x²+x+m+1＞0，m＞0，
①當m=1時，x＞-2；
②當0＜m＜1時，△＞0，＜x＜；
③當1＜m＜時，△＞0，x＜ 或x＞；
④當m=時，△=0，x；
⑤當m＞時，△＜0，x∈R．
分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)f（x）=x²+px+q，當f（x）＜0時，有2＜x＜5，可得2，5是方程x²+px+q=0的兩根，利用韋達定理可求p和q的值；
（2）函數(shù)在區(qū)間上恒成立問題，要轉(zhuǎn)化為函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，通過求解函數(shù)的最值，列出關(guān)于實數(shù)m的不等式，達到求解該題的目的．
（3）因為最高次冪位置有參數(shù)m，故需要分類討論，利用不等式對應(yīng)的二次函數(shù)圖象和性質(zhì)解決．
點評：本題重點考查解不等式，考查不等式的解集與方程解之間的關(guān)系，考查函數(shù)恒成立問題的解決思路和方法，考查函數(shù)與不等式的綜合問題，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸的思想和方法、解不等式的思想．