Question

【題目】設(shè)，函數(shù)．

（1）若，求曲線在處的切線方程；

（2）若無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若有兩個(gè)相異零點(diǎn)，，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】

試題分析：(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，帖點(diǎn)斜式寫出切線方程即可；(2)當(dāng)時(shí)，由可知函數(shù)有零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一零點(diǎn)有唯一零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由單調(diào)性可知函數(shù)有最大值，由函數(shù)的最大值小于零列出不等式，解之即可；(3) 設(shè)的兩個(gè)相異零點(diǎn)為，，設(shè)，則，，兩式作差可得，即，由可得即，

，設(shè)上式轉(zhuǎn)化為（），構(gòu)造函數(shù)，證即可.

試題解析： （1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，

當(dāng)時(shí)，，則切線方程為，即．

（2）①若時(shí)，則，是區(qū)間上的增函數(shù)，

∵，，

∴，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn)；

②若，有唯一零點(diǎn)；

③若，令，得，

在區(qū)間上，，函數(shù)是增函數(shù)；

在區(qū)間上，，函數(shù)是減函數(shù)；

故在區(qū)間上，的極大值為，

由于無零點(diǎn)，須使，解得，

故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（3）設(shè)的兩個(gè)相異零點(diǎn)為，，設(shè)，

∵，，∴，，

∴，，

∵，故，故，

即，即，

設(shè)上式轉(zhuǎn)化為（），

設(shè)，

∴，

∴在上單調(diào)遞增，

∴，∴，

∴．