Question

已知⊙O₁和⊙O₂相交于A，B兩點，過A點作⊙O₁的切線交⊙O₂于點E，連接EB并延長交⊙O₁于點C，直線CA交⊙O₂于點D．
（Ⅰ）如圖，當點D與點A不重合時，證明：EA=ED；
（Ⅱ）當點D與點A重合時，若BC=2，CE=8，求⊙O₁的直徑．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段

專題：立體幾何

分析：（Ⅰ）連結AB，在EA延長線上取一點F，由弦切角定理得∠FAC=∠ABC，又∠ABC是⊙O₂內(nèi)接四邊形ABED外角，由此能證明EA=ED．
（Ⅱ）當D與A重合時，CA與⊙O₂只有一個公共點，由已知條件推導出AC、AE分別是⊙O₁，⊙O₂的直徑，由此能求出⊙O₁的直徑．

解答： （Ⅰ）證明：連結AB，在EA延長線上取一點F，
∵AE是⊙O₁的切線，∴∠FAC=∠ABC，
又∠ABC是⊙O₂內(nèi)接四邊形ABED外角，
∴∠ABC=∠ADE，∴DAE=∠ADE，
∴EA=ED．
（Ⅱ）當D與A重合時，CA與⊙O₂只有一個公共點，
∴CA與⊙O₂相切，∠FAC=∠ARC，∠DAE=∠ARE，
∵∠FAC=∠DAE，∴AC、AE分別是⊙O₁，⊙O₂的直徑，
由AC²=CB•CE=2×8=16，
∴AC=4，即⊙O₁的直徑為4．

點評：本題考查線段長的求法，考查圓的直徑的求法，解題時要認真審題，注意弦切角定理的合理運用．