Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=k（2ⁿ-1），且a₃=8．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系，求出通項公式，驗證首項是否滿足所求的通項公式．
（2）寫出通項公式利用錯位相減法求解前n項和即可．

解答 解：（1）當(dāng)n≥2時，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=k（{2^n}-1）-k（{2^{n-1}}-1）=k•{2^{n-1}}$，
${a_3}=k•{2^2}=8⇒k=2$，
∴${a_n}={2^n}$．
當(dāng)n=1時，${a_1}={S_1}=k•（{2^1}-1）=2$，
綜上所述，${a_n}={2^n}$…（6分）
（2）由（1）知，$n{a_n}=n•{2^n}$，則${T_n}=1×{2^1}+2×{2^2}+3×{2^3}+…+（n-1）{2^{n-1}}+n•{2^n}$①$2{T_n}=1×{2^2}+2×{2^3}+3×{2^4}+…+（n-1）{2^n}+n•{2^{n+1}}$②
①-②得：$-{T_n}={2^1}+{2^2}+{2^3}+…+{2^n}-n•{2^{n+1}}$，
$-{T_n}=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n•{2^{n+1}}=2（{2^n}-1）-n•{2^{n+1}}$，
$-{T_n}={2^{n+1}}-2-n•{2^{n+1}}$，
${T_n}=（n-1）{2^{n+1}}+2$…（12分）

點評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和錯位相減法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．