Question

已知函數(shù)f(x)=2sinωx•cosωx+2

3

cos2ωx-

3

（其中ω＞0）的周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

4

個單位長度，再將所得圖象各點的橫坐標(biāo)縮小為原來的

1

2

（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)y=g（x）的圖象．求函數(shù)g（x）在[-

π

6

，

π

24

]上的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式為 2sin（2ωx+

π

3

）+

3

，再根據(jù)它的周期為

2π

2ω

=π，求得ω 的值．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）=2sin（4x-

π

6

）+

3

．令2kπ-

π

2

≤4x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，再根據(jù)x∈[-

π

6

，

π

24

]，可得函數(shù)的增區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f(x)=2sinωx•cosωx+2

3

cos2ωx-

3

=sin2ωx+2

3

•

1+cos2ωx

2

 
=2[

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx]+

3

=2sin（2ωx+

π

3

）+

3

 （其中ω＞0）的周期為

2π

2ω

=π，
∴ω=1．
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

4

個單位長度，
可得函數(shù)y=2sin[2（x-

π

4

）+

π

3

]+

3

=2sin（2x-

π

6

）+

3

的圖象．
再將所得圖象各點的橫坐標(biāo)縮小為原來的

1

2

（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)y=g（x）=2sin（4x-

π

6

）+

3

的圖象．
令2kπ-

π

2

≤4x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，
求得

kπ

2

-

π

12

≤x≤

kπ

2

+

π

6

．
再根據(jù)x∈[-

π

6

，

π

24

]，可得函數(shù)的增區(qū)間為[-

π

12

，

π

24

]．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性和周期性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．