Question

（2012•大連二模）選修4-5：不等式選講定義min{a，b}=

a，a≤b b，a＞b

，求函數(shù)f（x）=min{|x-2|+|2x+1|，-x²+3x+3}的最大值．

Answer 1

分析：由題意，函數(shù)f（x）是取|x-2|+|2x+1|和-x²+3x+3兩個(gè)值中的較小值．因此根據(jù)x的取值范圍將|x-2|+|2x+1|化成分段函數(shù)的表達(dá)式，利用作差的方法分別得到各個(gè)范圍內(nèi)|x-2|+|2x+1|與-x²+3x+3的大小關(guān)系，從而得到f（x）的分段函數(shù)表達(dá)式，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）的最大值．

解答：解：根據(jù)絕對(duì)值的意義，可得|x-2|+|2x+1|=

3x-1    x≥2 x+3     - 1 2 ＜x＜2 -3x+1    x≤- 1 2

…（3分）
①當(dāng)x≥2時(shí)-x²+3x+3-（3x-1）=-x²+4≤0成立，此時(shí)|x-2|+|2x+1|＞-x²+3x+3，∴f（x）=-x²+3x+3；
②當(dāng)-

1

2

＜x＜2時(shí)，-x²+3x+3-（x+3）=-x²+2x≤0在（-

1

2

，0）成立，此時(shí)f（x）=-x²+3x+3．
-x²+3x+3-（x+3）=-x²+2x≥0在[0，2）成立，此時(shí)f（x）=x+3；
③當(dāng)x≤-

1

2

時(shí)，-x²+3x+3-（-3x+1）=-x²+6x+2≤0在（-∞，-

1

2

]成立，此時(shí)f（x）=-x²+3x+3；
所以f（x）=

-x2+3x+3      x≤0 x+3        0＜x＜2 -x2+3x+3     x≥2

，…（6分）
可得函數(shù)在（-∞，0），（0，2）上是增函數(shù)，在（2，+∞）上是減函數(shù)
因此，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）≤f（0）=3；當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）＜f（2）=5；當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）≤f（2）=5．
綜上所述，可得f（x）最大值為5． …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出取最小值的函數(shù)min{a，b}，求f（x）=min{|x-2|+|2x+1|，-x²+3x+3}的最大值．著重考查了絕對(duì)值的意義、分段函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值及其幾何意義等知識(shí)，屬于中檔題．