Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)在上有定義，對(duì)任意實(shí)數(shù)和任意實(shí)數(shù)，都有.
（Ⅰ）證明；
（Ⅱ）證明（其中k和h均為常數(shù)）；
（Ⅲ）當(dāng)（Ⅱ）中的時(shí)，設(shè)，討論在內(nèi)的單調(diào)性.

Answer 1

（Ⅰ）證明：見解析；（Ⅱ）
（Ⅲ）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減, 在區(qū)間（）內(nèi)單調(diào)遞增.

本小題主要考查函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值等知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題及推理的能力。
（1）對(duì)于任意的a>0，，均有 ①在①中取
(2) 令時(shí)，∵，∴，則
而時(shí)，，則
而，   ∴，即成立
賦值法得到結(jié)論。
（3）由（Ⅱ）中的③知，當(dāng)時(shí)，，
分析導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)區(qū)間。
（Ⅰ）證明：對(duì)于任意的a>0，，均有 ①
在①中取
∴ ②
（Ⅱ）證法一：當(dāng)時(shí)，由①得   
取，則有    ③
當(dāng)時(shí)，由①得 
取，則有   ④
綜合②、③、④得;
證法二:
令時(shí)，∵，∴，則
而時(shí)，，則
而，   ∴，即成立
令，∵，∴，則
而時(shí)，，則
即成立。綜上知
（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）中的③知，當(dāng)時(shí)，，
從而
又因?yàn)閗>0，由此可得

	－	0	+
	↘	極小值2	↗

所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間（）內(nèi)單調(diào)遞增。
解法2：由（Ⅱ）中的③知，當(dāng)時(shí)，，
設(shè)   則

又因?yàn)閗>0，所以
（i）當(dāng) ；
（ii）當(dāng)
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減, 在區(qū)間（）內(nèi)單調(diào)遞增.