Question

 （ 12分）在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于

城市O（如圖）的東偏南）方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大，問(wèn)幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的

侵襲？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解法一：如圖建立坐標(biāo)系以O(shè)為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸正向.

在時(shí)刻t：臺(tái)風(fēng)中心P（）的坐標(biāo)為

                  ……………………4分

    此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的區(qū)域是……………………6分

    其中                         ……………………8分

若在t時(shí)刻城市O受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，則有

    即

    ……………………11分

    答：12小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲. ……………………  12分

 

解法二：設(shè)在時(shí)刻t(h)臺(tái)風(fēng)中心為Q，

此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑為10t+60(km) ……2分

　　　　若在時(shí)刻t城市O受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，則                 

　　　　OQ≤10t+60                        ………4分

　　　　由余弦定理知

　　　　OQ²=PQ²+PO²-2·PQ·POcos∠OPQ

　　　　由于PO=300，PQ=20t，

　　　　cos∠OPQ=cos(θ-45°)=cosθcos45°+sinθsin45°

　　　　=                 ……………………6分    

　　故OQ²=(20t)²+300²-2×20t×300×=20²t²-9600t+300²

　　　　因此20²t²-9600t+300²≤(10t+60)²，　 　……………………8分

　　即t²-36t+288≤0，                                                 

　　　　解得12≤t≤24                               ……………………11分

    答：12小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲. ……………………  12分