Question

P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞，b＞0)右支上一點，F₁與F₂是左右焦點，O為原點，則t=

PF1+PF2

OP

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：常規(guī)題型

分析：利用第二定義有PF₁=ex₀-a，PF₂=ex₀+a，PF₁+PF₂=2ex₀，求出OP，可得

1

4

t²=

1

4

•

PF1+PF2

OP

=

1

1- b2 e2x02

，結合x₀²≥a²，即可求出t=

PF1+PF2

OP

的取值范圍．

解答： 解：P（x₀，y₀），有y₀²=

b2

a2

（x₀²-a²），設雙曲線半焦距為c，離心率為

c

a

由第二定義有PF₁=ex₀-a，PF₂=ex₀+a，PF₁+PF₂=2ex₀
又OP²=x₀²+y₀²=x₀²+

b2

a2

（x₀²-a²）=e²x₀²-b²
∴

1

4

t²=

1

4

•

PF1+PF2

OP

=

1

1- b2 e2x02

∵x₀²≥a²，
∴1＜

1

4

t²≤e²，
∴t∈（2，2e]．

點評：本題考查雙曲線的第二定義，考查學生的計算能力，確定PF₁=ex₀-a，PF₂=ex₀+a是關鍵．