Question

空間內(nèi)有n個(gè)平面，設(shè)這n個(gè)平面最多將空間分成a_n個(gè)部分．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）寫出a_n關(guān)于n的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：（1）直接通過直線分平面所得部分寫出a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）利用（1）寫出a_n關(guān)于n的表達(dá)式，直接利用用數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟證明結(jié)論即可．

解答：解：（1）一條直線把平面分成2部分，所以a₁=2，
兩條直線把平面最多分成4部分，所以a₂=4，
三條直線把平面最多分成8部分，所以a₃=8，
四條直線最多分成15部分，所以a₄=15；
（2）由（1）可知，an=

1

6

(n3+5n+6)．證明如下：
當(dāng)n=1時(shí)顯然成立，
設(shè)n=k（k≥1，k∈N^*）時(shí)結(jié)論成立，即ak=

1

6

(k3+5k+6)，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，再添上第k+1個(gè)平面，因?yàn)樗�和前k個(gè)平面都相交，所以可得k條互不平行且不共點(diǎn)的交線，且其中任3條直線不共點(diǎn)，這k條交線可以把第k+1個(gè)平面劃最多分成

1

2

[(k+1)2-(k+1)+2)]個(gè)部分，每個(gè)部分把它所在的原有空間區(qū)域劃分成兩個(gè)區(qū)域．因此，空間區(qū)域的總數(shù)增加了

1

2

[(k+1)2-(k+1)+2)]個(gè)，
∴ak+1=ak+

1

2

[(k+1)2-(k+1)+2)]=

1

6

(k3+5k+6)+

1

2

[(k+1)2-(k+1)+2)]=

1

6

[(k+1)3+5(k+1)+6)]，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
綜上，對(duì)?n∈N^*，an=

1

6

(n3+5n+6)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．