Question

如圖，已知在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，面對角線A₁B、BC₁的中點為E、F，求證：EF∥平面ABCD．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：如圖，取BB₁的中點M，由三角形中位線的性質(zhì)可得 EM∥AB，證明EM∥平面ABCD，F(xiàn)M∥平面A₁B₁C₁D₁ ，從而證明FM∥平面ABCD，可得平面EFM∥平面ABCD，再由兩個平面平行的性質(zhì)可得 EF∥平面ABCD．

解答： 證明：如圖
取BB₁的中點M，∵點E、F分別是側(cè)面對角線AB₁、BC₁的中點，
由三角形中位線的性質(zhì)可得 EM∥AB，而AB?平面ABCD，EM?平面ABCD內(nèi)，∴EM∥平面ABCD．
同理可證 FM∥平面A₁B₁C₁D₁ ，由平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁ ，
可得FM∥平面ABCD．
由EM∩FM=M，可得平面EFM∥平面ABCD．
∵EF?平面EFM，
∴EF∥平面ABCD．

點評：本題考查證明線面平行的方法，關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)為線線平行解決，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．