Question

為激發(fā)學生的學習興趣，吳萱老師上課時在黑板上寫出三個集合：A={x|x（△•x-1）＜0}，B={x|x²-3x-4≤0}，C={x|log₃x＜-1}；然后叫小南、小廣、小郎三位同學到講臺上，并將“△”中的數(shù)告訴了他們，要求他們各用一句話來描述，以便同學們能確定該數(shù)．以下是小南、小廣、小郎三位同學的描述：小南：此數(shù)為小于6的正整數(shù)； 小廣：A是B成立的充分不必要條件； 小郎：A是C成立的必要不充分條件．若老師評說三位同學說的都對．
（Ⅰ）試求“△”中的數(shù)；
（Ⅱ）若D={x|x²+（a-8）x-8a≤0}，求a的一個取值范圍，使它成為A∩D=(0，

1

2

)一個必要不充分條件．

Answer 1

分析：（I）先求出兩個集合B，C，再根據(jù)三位同學的描述確定集合A與兩個集合B，C之間的關系，推測出△的可能取值；
（II）要求A∩D=(0，

1

2

)的必要不充分條件，即求一個a的一個取值集合M，使得A∩D=(0，

1

2

)的a的一個取值集合N?M．

解答：解：（I）由題意B={x|x²-3x-4≤0}={x|-1≤x≤4}，C={x|log₃x＜-1}={x|0＜x＜

1

3

}
A={x|x（△•x-1）＜0}={x|0＜x＜

1

△

}
由A是B成立的充分不必要條件知，A真包含于B，故

1

△

≤4，再由此數(shù)為小于6的正整數(shù)得出△≥

1

4

，
由A是C成立的必要不充分條件得出C包含于A，故

1

△

＞

1

3

，得出△＜3，
所以△=1或2；
（II）當△=1時，A={x|x（x-1）＜0}={x|0＜x＜1}，
D={x|x²+（a-8）x-8a≤0}={x|（x+a）（x-8）≤0}，此時A∩D=(0，

1

2

)不可能成立，
當△=2時，A={x|x（2x-1）＜0}={x|0＜x＜

1

2

}，
D={x|x²+（a-8）x-8a≤0}={x|（x+a）（x-8）≤0}，此時要使A∩D=(0，

1

2

)成立，
則-a＜8，即a＞-8，故D={x|-a≤x≤8}，
當-a≤0時，即a≥0時，此時a的取值集合是A∩D=(0，

1

2

)一個必要不充分條件．
故所求的a的一個取值范圍是[0．+∞）．

點評：本題考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷、集合中的參數(shù)取值問題，解題的關鍵是根據(jù)題設條件中三個同學的描述得出三個集合之間的包含關系，由這些關系得出所求的參數(shù)滿足的條件，本題考查了推理論證的能力及運算能力．