Question

5．下列函數(shù)滿足“?x∈R，f（x）+f（-x）=0，且f′（x）≤0”的是（　�。�

• A． f（x）=x²|x|
• B． f（x）=-xe^|x|
• C． f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lg（x+1），x≥0}\\{lg（1-x），x＜0}\\{\;}\end{array}\right.$
• D． f（x）=x+sinx

Answer 1

分析 滿足“?x∈R，f（x）+f（-x）=0，且f′（x）≤0”的函數(shù)為奇函數(shù)，且在R上為減函數(shù)，進而得到答案．

解答 解：滿足“?x∈R，f（x）+f（-x）=0，且f′（x）≤0”的函數(shù)為奇函數(shù)，且在R上為減函數(shù)，
A中函數(shù)f（x）=x²|x|，滿足f（-x）=f（x），故函數(shù)為偶函數(shù)，
B中函數(shù)f（x）=-xe^|x|，滿足f（-x）=-f（x），即函數(shù)為奇函數(shù)，
且f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}（x-1）{e}^{-x}，x＜0\\-（x+1）{e}^{x}，x≥0\end{array}\right.$≤0恒成立，故在R上為減函數(shù)，
C中函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}lg（x+1），x≥0\\ lg（1-x），x＜0\end{array}\right.$，滿足f（-x）=f（x），故函數(shù)為偶函數(shù)；
D中函數(shù)f（x）=x+sinx，滿足f（-x）=-f（x），即函數(shù)為奇函數(shù)，但f′（x）=1+cosx≥0，在R上是增函數(shù)，
故選：B．

點評 本題以全稱命題為載體，考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．