Question

已知函數(shù) f（x）=ax＋lnx，其中a為常數(shù)，設e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當a=－1時，求的最大值；
（2）若f（x）在區(qū)間（0，e］上的最大值為－3，求a的值；
（3）當a=－1時，試推斷方程是否有實數(shù)解 .

Answer 1

（1）-1
（2）
（3）方程無實數(shù)解

試題分析：解：（1）當時，
，當時，在區(qū)間上為增函數(shù)，
當時，，在區(qū)間上為減函數(shù)，
所以當，有最大值，。    3分
（2）∵，若，則在區(qū)間（0，e］上恒成立，
在區(qū)間（0，e］上為增函數(shù)，，
，舍去，
當，在區(qū)間（0，e］上為增函數(shù)，
，∴，舍去，
若，當時，在區(qū)間上為增函數(shù)，
當時， ，在區(qū)間上為減函數(shù)，
，；
綜上。    8分
（3）當時，恒成立，所以，
令，
，當時，在區(qū)間上為增函數(shù)，
當時，在區(qū)間上為減函數(shù)，
當時，有最大值，所以恒成立，
方程無實數(shù)解。    12分
點評：主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性以及最值的運用，屬于基礎題。