Question

將二項(xiàng)式(

x

+

1

2 4 x

)n的展開式按x的降冪排列，若前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，則該展開式中x的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有

3

個．

Answer 1

分析：寫出展開式的通項(xiàng)，利用前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求出n，進(jìn)而可求展開式中x的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)的個數(shù)．

解答：解：展開式的通項(xiàng)為Tr+1=

C

r n

×(

1

2

)r×x

2n-3r

4

（r=0，1，2，…，n）
∴前三項(xiàng)的系數(shù)分別是1，

1

2

n，

1

8

n(n-1)，
∵前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列
∴2•

1

2

n=1+

1

8

n(n-1)
∴n=8
∴當(dāng)n=8時，Tr+1=

C

r n

(

1

2

)rx

16-3r

4

（r=0，1，2，…，8）
∴r=0，4，8，展開式中x的指數(shù)是整數(shù)
故答案為：3

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)展開式，考查等差數(shù)列的運(yùn)用，考查展開式的特殊項(xiàng)，確定n是關(guān)鍵．