今有一無蓋水箱，它是在邊長為60的正方形鐵板的四個角上，各截去相同的四個小正方形后，再經(jīng)折起焊接而成的（焊口連接問題不予考慮）．
（I）求水箱容積的表達式f（x），并指出f（x）的定義域；
（II）若要使水箱的容積最大，求水箱的底邊長．
【答案】分析：（I）設(shè)截去的小正方形的邊長是x，水箱的底是正方形，邊長為60-2x，水箱的高為x，水箱的容積是f（x），可得出因變量y與自變量x之間的關(guān)系式，由60-2x＞0，可求出f（x）的定義域．
（II）由（I）中函數(shù)的解析式，利用導數(shù)法，求出其函數(shù)值取最大值時，自變量x的值，即可得到要使水箱的容積最大，水箱的底邊長．
解答：解：（I）由題意得，
∵設(shè)截去的小正方形的邊長是x，
∴水箱的底邊長為60-2x，水箱的高為x，
所以，水箱的容積是f（x）與x的函數(shù)關(guān)系式是：f（x）=（60-2x）2•x．
且f（x）的定義域為（0，30）
（II）由（I）中f（x）=（60-2x）2•x．
∴f′（x）=（60-2x）2•x=（60-2x）（60-6x），令
f′（x）=0，則x=10，或x=30（舍）
則當水箱底面為10時，水箱的容積最大．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，其中設(shè)出自變量并根據(jù)已知條件確定出函數(shù)的解析式和定義域，將一個實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題是解答本題的關(guān)鍵．
